球面調和関数入門：l=0, 1の場合の基本性質の証明
目次
前提知識
この記事をスムーズに理解するために、以下の知識があることが望ましいです。
- ベクトル解析（特に球面座標系におけるラプラシアン）
- 重積分（特に球面座標系での面積分）
- 三角関数の基本的な性質と積分計算
- （物理的背景として）量子力学における角運動量の概念
要点まとめ
この記事では、物理学の様々な場面で現れる球面調和関数について解説し、特に
$l=0, 1$の場合に限定して、その重要な性質である直交性、対称性、加法定理を具体的に証明します。
- 問題の核心: 球面調和関数が持つ抽象的な性質を、具体的な低次の関数で計算し、その振る舞いを体感的に理解すること。
- 用いる数学的手法: 球面座標系における関数の内積（積分）計算。
- 最終的な結論:
$l=0, 1$の球面調和関数が、互いに直交する正規化された関数の組を構成し、明確な対称性と加法定理を満たすことを確認する。
1. はじめに
球面調和関数 $Y_{l,m}(\theta, \phi)$ は、物理学、特に量子力学や電磁気学において極めて重要な役割を果たす特殊関数です。この関数は、ラプラス方程式 $\nabla^2 f = 0$ を球面座標系で解く際に、角度部分の解として現れます。つまり、球面上での波やポテンシャルの振る舞いを記述するための「基本パーツ」のようなものです。
数学的な導出はここでは省略しますが、球面調和関数はラプラシアンの固有関数として得られる、ということだけ心に留めておいてください。
この記事では、最も基本的な $l=0$ (s軌道に対応) と $l=1$ (p軌道に対応) の実数球面調和関数を取り上げ、これらの関数が満たす「内積・直交性」「対称性」「加法定理」という3つの美しい性質を、実際に計算して証明していきます。抽象的な理論を具体的な計算で裏付けることで、球面調和関数への理解を深めることを目指します。
2. 対象とする球面調和関数
本記事では、物理現象の記述でよく用いられる、規格化された実数形式の球面調和関数を扱います。$l=0$ および $l=1$ の関数は以下の通りです。
$l=0$(s軌道) $$ Y_{0,0} = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} $$$l=1$(p軌道) $$ \begin{aligned} Y_{1,z} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta \\ Y_{1,x} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \sin\theta \cos\phi \\ Y_{1,y} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \sin\theta \sin\phi \end{aligned} $$ ※ 複素数形式では $Y_{1,0}, Y_{1, \pm 1}$ となりますが、これらを線形結合することで上記の実数形式（$Y_{1,z}, Y_{1,x}, Y_{1,y}$）が得られます。
3. 証明のロードマップ
これらの関数が持つ性質を、以下のステップで証明していきます。
- Step 1: 内積と直交性の証明 球面上の関数の内積を定義し、異なる関数同士の内積が0に、同じ関数同士の内積が1になること（正規直交性）を示します。
- Step 2: 対称性（パリティ）の証明 座標の反転 $(\vec{r} \to -\vec{r})$ に対して、関数がどのように振る舞うかを確認します。
- Step 3: 加法定理の検証 2つの方向ベクトル間の角度のみに依存する重要な定理が、
$l=0, 1$で成立することを確認します。
4. 理論展開と計算
上記のロードマップに従って、具体的な計算を進めていきましょう。
Step 1: 内積と直交性の証明
球面上の2つの関数 $f(\theta, \phi)$ と $g(\theta, \phi)$ の内積は、全球面にわたる積分で定義されます。 $$ \langle f | g \rangle = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi d\theta \sin\theta , f^*(\theta, \phi) , g(\theta, \phi) $$ ここで $f^*$ は $f$ の複素共役ですが、今回は実数関数のみを扱うため $f^* = f$ となります。
正規化の確認 (内積が$1$になること)
まず、各関数自身との内積を計算し、大きさが$1$に規格化されていることを確認します。
$Y_{0,0}$ の場合 $$ \begin{aligned} \langle Y_{0,0} | Y_{0,0} \rangle &= \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi d\theta \sin\theta \left( \sqrt{\frac{1}{4\pi}} \right)^2 \\ &= \frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi d\theta \sin\theta \\ &= \frac{1}{4\pi} [ \phi ]_0^{2\pi} [ -\cos\theta ]_0^\pi \\ &= \frac{1}{4\pi} (2\pi) ( -(-1) - (-1) ) = \frac{1}{4\pi} (2\pi) (2) = 1 \end{aligned} $$
$Y_{1,z}$ の場合
\begin{aligned} \langle Y_{1,z} | Y_{1,z} \rangle &= \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi d\theta \sin\theta \left( \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta \right)^2 \\ &= \frac{3}{4\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi d\theta \sin\theta \cos^2\theta \\ &= \frac{3}{4\pi} (2\pi) \left[ -\frac{1}{3}\cos^3\theta \right]_0^\pi \\ &= \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{3}(-1)^3 - (-\frac{1}{3}(1)^3) \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = 1 \end{aligned}
$Y_{1,x}$ と $Y_{1,y}$ についても、$\int_0^{2\pi} \cos^2\phi , d\phi = \pi$ および $\int_0^{2\pi} \sin^2\phi , d\phi = \pi$ を用いることで、同様に内積が$1$になることを示せます。
直交性の確認 (内積が$0$になること)
次に、異なる関数同士の内積が$0$になることを示します。
$\langle Y_{0,0} | Y_{1,z} \rangle$ の場合 $$ \langle Y_{0,0} | Y_{1,z} \rangle = C \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi d\theta \sin\theta \cos\theta = C’ \int_0^\pi d\theta \sin\theta \cos\theta $$ ここで $C, C’$ は定数です。被積分関数 $\sin\theta \cos\theta$ は区間 $[0, \pi]$ において奇関数（$\pi/2$ を中心とした点対称）であるため、この積分は$0$となります。
$\langle Y_{1,x} | Y_{1,y} \rangle$ の場合 $$ \langle Y_{1,x} | Y_{1,y} \rangle = C \int_0^{2\pi} d\phi \cos\phi \sin\phi \int_0^\pi d\theta \sin^3\theta $$ $\phi$ に関する積分 $\int_0^{2\pi} d\phi \cos\phi \sin\phi = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} d\phi \sin(2\phi) = 0$ となるため、内積全体も$0$です。
他の組み合わせ（例：$\langle Y_{1,z} | Y_{1,x} \rangle$）についても、$\phi$ に関する積分が $\int_0^{2\pi} d\phi \cos\phi = 0$ となるため、内積は0です。
以上より、$l=0, 1$ の実数球面調和関数は正規直交系をなすことが証明されました。
Step 2: 対称性（パリティ）の証明
パリティとは、座標反転 $\vec{r} \to -\vec{r}$ に対する関数の振る舞いです。球面座標では、この変換は $(\theta, \phi) \to (\pi - \theta, \phi + \pi)$ に対応します。この変換で三角関数は以下のように変わります。
- $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$
- $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$
- $\cos(\phi + \pi) = -\cos\phi$
- $\sin(\phi + \pi) = -\sin\phi$
これらを用いて、各球面調和関数のパリティを調べます。
$Y_{0,0}$ の場合 $Y_{0,0}$ は定数なので、座標反転しても値は変わりません。 $Y_{0,0} \to Y_{0,0}$ (偶パリティ, $(-1)^0=1$)
$Y_{1,z}$ の場合 $Y_{1,z} \propto \cos\theta \to \cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$ よって、$Y_{1,z} \to -Y_{1,z}$ (奇パリティ, $(-1)^1=-1$)
$Y_{1,x}$ の場合 $Y_{1,x} \propto \sin\theta \cos\phi \to \sin(\pi-\theta) \cos(\phi+\pi) = (\sin\theta)(-\cos\phi) = -\sin\theta\cos\phi$ よって、$Y_{1,x} \to -Y_{1,x}$ (奇パリティ, $(-1)^1=-1$)
$Y_{1,y}$ の場合 $Y_{1,y} \propto \sin\theta \sin\phi \to \sin(\pi-\theta) \sin(\phi+\pi) = (\sin\theta)(-\sin\phi) = -\sin\theta\sin\phi$ よって、$Y_{1,y} \to -Y_{1,y}$ (奇パリティ, $(-1)^1=-1$)
一般的に、球面調和関数は $Y_{l,m}(\pi-\theta, \phi+\pi) = (-1)^l Y_{l,m}(\theta, \phi)$ というパリティを持つことが知られており、今回の結果は $l=0, 1$ の場合にこの法則が成り立つことを示しています。
Step 3: 加法定理の検証
球面調和関数の加法定理は、2つの方向ベクトル $\vec{r_1} = (\theta_1, \phi_1)$ と $\vec{r_2} = (\theta_2, \phi_2)$ の間の角度を $\gamma$ とすると、以下のように表されます。 $$ \sum_{m=-l}^{l} Y_{l,m}^*(\theta_1, \phi_1) Y_{l,m}(\theta_2, \phi_2) = \frac{2l+1}{4\pi} P_l(\cos\gamma) $$ ここで $P_l(x)$ はルジャンドル多項式です。
$l=0$ の場合 $P_0(x)=1$ なので、定理の右辺は $\frac{1}{4\pi}$ です。左辺は $Y_{0,0}^* Y_{0,0} = (\sqrt{1/4\pi})^2 = 1/4\pi$ となり、定理は自明に成立します。
$l=1$ の場合 $P_1(x)=x$ なので、右辺は $\frac{3}{4\pi}\cos\gamma$ です。ここで $\cos\gamma$ は、2つの方向を指す単位ベクトル $\hat{r}_1$ と $\hat{r}_2$ のなす角の余弦です。これはベクトルの内積（ドット積）を用いて計算できます。
余弦 $\cos\gamma$ の導出詳細
単位ベクトルの定義 まず、球面座標 $(\theta, \phi)$ で表される方向を指す単位ベクトル $\hat{r}$ を、デカルト座標 $(x, y, z)$ で表現します。変換式は以下の通りです。 $$ \begin{cases} x = \sin\theta \cos\phi \\ y = \sin\theta \sin\phi \\ z = \cos\theta \end{cases} $$ これを用いて、2つの単位ベクトル $\hat{r}_1$ と $\hat{r}_2$ を定義します。 $$ \begin{aligned} \hat{r}_1 &= (\sin\theta_1 \cos\phi_1, \sin\theta_1 \sin\phi_1, \cos\theta_1) \\ \hat{r}_2 &= (\sin\theta_2 \cos\phi_2, \sin\theta_2 \sin\phi_2, \cos\theta_2) \end{aligned} $$
内積の計算 2つの単位ベクトルの内積は $\hat{r}_1 \cdot \hat{r}_2 = |\hat{r}_1||\hat{r}_2|\cos\gamma = \cos\gamma$ となります。これを各成分の積の和として計算します。 $$ \begin{aligned} \cos\gamma &= \hat{r}_1 \cdot \hat{r}_2 \\ &= (\sin\theta_1 \cos\phi_1)(\sin\theta_2 \cos\phi_2) + (\sin\theta_1 \sin\phi_1)(\sin\theta_2 \sin\phi_2) + (\cos\theta_1)(\cos\theta_2) \end{aligned} $$
式の整理 上式の右辺を整理します。最初の2つの項は $\sin\theta_1\sin\theta_2$ でくくることができます。 $$ \cos\gamma = \sin\theta_1\sin\theta_2 (\cos\phi_1\cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \cos\theta_1\cos\theta_2 $$ ここで、括弧の中の式は三角関数の加法定理
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$そのものです。これを適用すると、 $$ \cos\gamma = \sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_1 - \phi_2) + \cos\theta_1\cos\theta_2 $$ となり、球面座標で表された2つのベクトルのなす角の余弦の公式が得られます。
一方、左辺を実数関数で計算します。
$$
\begin{aligned}
& Y_{1,x}(\theta_1, \phi_1)Y_{1,x}(\theta_2, \phi_2) + Y_{1,y}(\theta_1, \phi_1)Y_{1,y}(\theta_2, \phi_2) + Y_{1,z}(\theta_1, \phi_1)Y_{1,z}(\theta_2, \phi_2) \\
&= \frac{3}{4\pi} (\sin\theta_1\cos\phi_1 \sin\theta_2\cos\phi_2 + \sin\theta_1\sin\phi_1 \sin\theta_2\sin\phi_2 + \cos\theta_1\cos\theta_2) \\
&= \frac{3}{4\pi} (\sin\theta_1\sin\theta_2(\cos\phi_1\cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \cos\theta_1\cos\theta_2) \\
&= \frac{3}{4\pi} (\sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_1 - \phi_2) + \cos\theta_1\cos\theta_2) \\
&= \frac{3}{4\pi} \cos\gamma
\end{aligned}
$$
となり、左辺と右辺が一致します。これにより $l=1$ の場合も加法定理が成立することが検証できました。
5. 結論と物理的考察
本記事では、$l=0, 1$ の実数球面調和関数について、具体的な積分計算を通して以下の3つの性質を証明しました。
- 正規直交性: 互いに直交し、大きさが1に規格化された関数の組であること。
- パリティ: 座標反転に対して、
$l$に応じて $(-1)^l$ 倍される明確な対称性を持つこと。 - 加法定理: 2点間の関数値の積和が、2点間の角度のみに依存すること。
これらの性質は、物理現象を理解する上で非常に重要です。 例えば、量子力学において原子の電子状態を記述する際、球面調和関数は電子の角運動量の状態（電子雲の形）を表します。正規直交性は、異なる電子軌道（例えば $p_x$ 軌道と $p_y$ 軌道）が独立した状態であることを保証します。パリティは、光の吸収や放出（遷移）が起こるかどうかを決める「選択律」に直結します。加法定理は、複数の電荷が作るポテンシャルを計算する際の多重極展開などで強力なツールとなります。
最も単純なケースを自らの手で計算することで、これらの抽象的な性質が、具体的な関数の振る舞いにどのように現れるかをご理解いただけたなら幸いです。
6. 発展と関連テーマ
今回のテーマについて、さらに学びを深めるためのトピックをいくつか紹介します。
- 応用例: 電磁気学における多重極展開や、地球の重力ポテンシャル、宇宙マイクロ波背景放射の揺らぎの記述など、具体的な応用例を調べてみる。